МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Войти на сайт | Регистрация
УДК 517.9
Математические модели соболевского типа высокого порядка
Замышляева Алена Александровна, , кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра Уравнения математической физики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), alzama@mail.ru
Аннотация
Статья содержит обзор результатов автора в области математических моделей на основе уравнений соболевского типа высокого порядка. Теория построена на основе известных фактов по разрешимости начальных (начально-конечных) задач для уравнений соболевского типа первого порядка. Идея базируется на обобщении теории вырожденных (полу)групп операторов на случай уравнений соболевсого типа высокого порядка: расщеплении пространств, действий всех операторов, построении пропагаторов и фазового пространства однородного уравнения, а также множества допустимых начальных значений для неоднородного уравнения. Мы используем уже хорошо зарекомендовавший себя при решении уравнений соболевского типа метод фазового пространства, заключающийся в редукции сингулярного уравнения к регулярному, определенному на некотором подпространстве исходного пространства. В работе проводится редукция математических моделей к начальным (начально-конечным) задачам для абстрактного уравнения соболевского типа высокого порядка. Полученные результаты могут найти дальнейшее применение при исследовании задач оптимального управления, нелинейных математических моделей, а также для построения теории уравнений соболевского типа высокого порядка в квазибанаховых пространствах.
Ключевые слова
уравнения соболевского типа высокого порядка, фазовое пространство, пропагаторы, начально-конечная задача, относительный спектр
Литература
1. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. — Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003. — 179 p.
2. Cristiansen, P.L. On a Toda Lattice Model with a Transversal Degree of Freedom / P.L. Cristiansen, V. Muto, P.S. Lomdahl // Nonlinearity. — 1990. — № 4. — P. 477—501.
3. Boussinesq, J.V. Essai sur la théorie des eaux courantes. — Mém. Pésentés Divers Savants Acad. Sci. Inst. France. — 1877. — № 23. — P. 1—680.
4. Ладыженская, О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости / О.А. Ладыженская. — М.: Физматгиз, 1961. — 204 с.
5. Темам, Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ / Р. Темам. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
6. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. — 1960. — Т. 24, № 5. — С. 852—864.
7. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen, M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. — 1968. — V. 19. — P. 614—627.
8. Осколков, А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л. Соболева / Осколков А.П. // Зап. науч. сем. ЛОМИ. — 1991. — Т. 198. — С. 31—48.
9. Poincar , H. Sur l'equilibre d'une mass fluide anim e d'un mouvement de rotation / H. Poincar // Acta Math. — 1885. — V. 7. — P. 259—380.
10. Соболев, С.Л. Об одной новой задаче математической физики / С.Л. Соболев // Изв. АН СССР, серия Математика. — 1954. — Т. 18, вып. 1. — С. 3—50.
11. Demidenko, G.V. Partial Differential Equations and Systems not Solvable with Respect to the Highest Order Derivative / G.V. Demidenko, S.V. Uspenskii. — N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 2003. — 632 p.
12. Showalter, R.E. Hilbert Space Methods for Partial Differential Equations / R.E. Showalter. — Pitman; London; San Francisco; Melbourne, 1977.
13. Favini A. Degenerate Differential Equations in Banach Spaces / A. Favini, A. Yagi. — N.Y.; Basel; Hong Kong: Marcel Dekker, Inc., 1999. — 336 p.
14. Lyapunov—Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinithyn, M. Falaleev. — Dordrecht; Boston; London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — 548 p.
15. Al'shin, A.B. Blow-up in Nonlinear Sobolev Type Equations / A.B. Al'shin, M.O. Korpusov, A.G. Sveshnikov. — Series in nonlinear analisys and applications, 15, De Gruyter, 2011.
16. Кожанов, А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка / А.И. Кожанов. — Новосибирск: НГУ, 1990. — 130 с.
17. Pyatkov, S.G. Operator Theory. Nonclassical Problems / S.G. Pyatkov. — Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2002. — 348 p.
18. Свиридюк, Г.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа высокого порядка / Г.А. Свиридюк, А.А. Замышляева // Дифференциальные уравнения. — 2006. — Т. 42, № 2. — С. 252—260.
19. Замышляева, А.А. Фазовые пространства одного класса линейных уравнений соболевского типа второго порядка / А.А. Замышляева // Вычислительные технологии. — 2003. — Т. 8, № 4. — C. 45—54.
20. Замышляева, А.А. Фазовое пространство уравнения соболевского типа высокого порядка / А.А. Замышляева // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2011. — Т. 4, № 4. — С. 45—57.
21. Габов, С.А. Новые задачи математической теории волн / С.А. Габов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1998. — 448 с.
22. Benney, D.J. Interactions of Permanent Waves of Finite Amplitude / D.J. Benney, J.C. Luke // J. Math. Phys. — 1964. — № 43. — P. 309—313.
23. Ляв, А. Математическая теория упругости /А. Ляв; пер. с англ. Б.В. Булгаков, В.Я. Натанзон. — М.; Л.: ОНТИ, 1935. — 674 с.
24. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера — Сидорова как феномен уравнений соболевского типа / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2010. — Т. 3, № 1. — С. 104—125.
25. Загребина, С.А. Начально-конечная задача для уравнений соболевского типа с сильно -радиальным оператором / С.А. Загребина // Математические заметки ЯГУ. — 2012. — Т. 19, № 2. — С. 39—48.
26. Свиридюк, Г.А. Уравнения Баренблатта — Желтова — Кочиной на графе / Г.А. Свиридюк, В.В. Шеметова // Вестник МаГУ. Серия: Математика. — Магнитогорск, 2003. — Вып. 4. — С. 129—139.
27. Свиридюк, Г.А. Об одной модели динамики слабосжимаемой вязкоупругой жидкости / Г.А. Свиридюк // Известия вузов. Математика. — 1994. — № 1. — C. 62—70.
28. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство задачи Коши — Дирихле для одного неклассического уравнения / Г.А. Свиридюк, А.В. Анкудинов // Дифференциальные уравнения. — 2003. — Т. 39, № 11. — С. 1556—1561.
29. Замышляева, А.А. Линейные уравнения соболевского типа высокого порядка: моногр. / А.А. Замышляева. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. — 107 с.
30. Сагадеева, М.А. Дихотомии решений линейных уравнений соболевского типа: моногр. / М.А. Сагадеева. — Челябинск: Изд. центр ЮУрГУ, 2012. — 107 с.
31. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера — Сидорова — Дирихле для уравнения Буссинеска — Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциальные уравнения. — 2013. — Т. 49. — № 11. — С. 1390—1398.
32. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа: моногр. / Н.А. Манакова. — Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. — 88 с.
33. Келлер, А.В. Задача оптимального измерения: численное решение, алгоритм программы / Келлер А.В., Назарова Е.И. // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2011. — № 3. — С. 74—82.
34. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Известия вузов. Математика. — 2003. — № 8. — С. 46—52.
35. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2003. — Т. 43, № 11. — С. 1677—1683.
36. Шестаков, А.Л. Динамические измерения как задача оптимального управления // А.Л. Шестаков, Г.А. Свиридюк, Е.В. Захарова / Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, № 4. — С. 732.
37. Шестаков, А.Л. Численное решение задачи оптимального измерения / А.Л. Шестаков, А.В. Келлер, Е.И. Назарова // Автоматика и телемеханика. — 2012. — № 1. — C. 107—115.
38. Замышляева, А.А. О численном исследовании математической модели распространения волн на мелкой воде / А.А. Замышляева, Е.В. Бычков // Математические заметки ЯГУ. — 2013. — Т. 20, № 1. — С. 27—34.
39. Замышляева, А.А. Об алгоритме численного моделирования волн Буссинеска — Лява / А.А. Замышляева // Вестник ЮУрГУ. Серия: Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника. — 2013. — Т. 13, № 4. — С. 24—29.
40. Замышляева, А.А. Аналитическое исследование математической модели Буссинеска — Лява с аддитивным белым шумом / А.А. Замышляева // Глобальный научный потенциал (Раздел математические методы и модели). — 2013. — № 7 (28). — С. 44—50.
41. Замышляева, А.А. Стохастическая математическая модель ионно-звуковых волн в плазме / А.А. Замышляева // Естественные и технические науки (Раздел математическое моделирование, численные методы и комплексы программ). — 2013. — № 4. — C. 284—292.
42. Замышляева, А.А. Уравнение de Gennes звуковых волн в смектиках / А.А. Замышляева // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2009. — Т. 16, вып. 4. — С. 655—656.
43. Замышляева, А.А. Об аналитическом исследовании линеаризованной математической модели Бенни — Люка / А.А. Замышляева // Математические заметки ЯГУ. — 2013. — Т. 20, № 2. — С. 57—65.
44. Замышляева, А.А. Начально-конечная задача для уравнения Буссинеска — Лява на графе / А.А. Замышляева, А.В. Юзеева // Известия Иркутского государственного университета. Серия: Математика. — 2010. — Т. 3, № 2. — С. 18—29.
45. Федоров, В.Е. О некоторых соотношениях в теории вырожденных полугрупп операторов // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2008. — № 15 (115), вып. 1. — С. 89—99.
Источник
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2014. - Том 7, №2. – C. 5-28.