МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Войти на сайт | Регистрация
УДК 517.9
Моделирование диффузорных течений жидкости посредством редуцированных уравнений
Сапронов Юрий Иванович, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра Математическое моделирование, Воронежский государственный университет (г. Воронеж, Российская Федерация), yusapr@mail.ru
Аннотация
Знание динамических характеристик жидкости в гидроциклонах и диффузорах имеет большое значение для задачи оптимизации технических характеристик проточных частей турбинных насосов, участвующих в перекачке нефти по магистральным трубопроводам. Описание же динамических характеристик жидкости в этих устройствах можно получить на основе имеющихся аналитических выражений для решений модельных уравнений гидродинамики или их упрощенных вариантов, используемых в подобных задачах. Как показывает практика, получаемые из уравнения Навье — Стокса редуцированные (упрощенные) уравнения гидродинамического типа позволяют достаточно точно моделировать течения жидкости в областях произвольных геометрических форм. В данной статье использован подход, связанный с функциональной редукцией уравнения Гельмгольца, в случае плоского диффузорного течения, к краевой задаче для ОДУ Джеффри — Гамеля (посредством подстановки Гамеля). При конечных значениях числа Рейнольдса установлена возможность построения приближений к решениям редуцированного уравнения через нелинейную аппроксимацию Галеркина — Ритца — по одной из (вариационных) версий метода Ляпунова — Шмидта. Посредством такой аппроксимации можно сколь угодно точно определять поле скоростей частиц жидкости и, как следствие, извлекать информацию о таких свойствах течения, как его диффузорность или конфузорность на отдельных участках. В статье приведены примеры графических изображений приближенно вычисленных эпюр скоростей для течений, близких к -модовым, .
Ключевые слова
уравнение Навье — Стокса, уравнение Гельмгольца, диффузорное течение, подстановка Гамеля, вариационный метод Ляпунова — Шмидта, эпюра скоростей
Литература
1. Jeffery, G.B. The Two-Dimensional Steady Notion of a Viskous Fluid/ G.B. Jeffery// Phil. Mag. Ser.6. — 1915. — V.29, № 172. — P. 455—465.
2. Hamel, G. Spiralfrmige Bewegungen zher Flssigkeiten / G. Hamel // Jahresber. Detsch. Math. Ver. — 1917. — Bd 25. — P. 34—60.
3. Акуленко, Л.Д. Бифуркация основного стационарного течения вязкой жидкости в плоском диффузоре / Л.Д. Акуленко, С.А. Кумакшев // Известия РАН. Механика жидкости и газа. — 2005. — № 3. — С. 25—36.
4. Акуленко, Л.Д. Бифуркация многомодовых течений вязкой жидкости в плоском диффузоре / Л.Д. Акуленко, С.А. Кумакшев // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72, вып. 3. — С. 431—441.
5. Кочин, Н.Е. Теоретическая гидродинамика. Ч. 2 / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. — М.: Физматгиз, 1963. — 728 с.
6. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — М.: Наука, 1986. — 736 с.
7. Даринский, Б.М. Бифуркации экстремалей фредгольмовых функционалов/ Б.М. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.Л. Царев // Современная математика. Фундаментальные направления. — 2004. — Т. 12. — С. 3—140.
8. Свиридюк, Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Известия АН СССР, серия математическая. — 1993. — Т. 57, № 3. — С. 192—207.
9. Свиридюк, Г.А. О задаче Веригина для обобщенного фильтрационного уравнения Буссинеска / Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. — 2003. — № 7. — С. 54—58.
10. Загребина, С.А. О задаче Шоуолтера — Сидорова / С.А. Загребина // Известия вузов. Математика. — 2007. — № 3. — С. 22—28.
11. Красносельский, М.А. Геометрические методы нелинейного анализа / М.А. Красносельский, П.П. Забрейко. — М.: Наука, 1975. — 512 с.
12. Борзаков, А.Ю. Нелинейные ритцевские аппроксимации и визуализации бифуркаций экстремалей / А.Ю. Борзаков, А.А. Лемешко, Ю.И. Сапронов // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2003. — Вып. 2. — С. 100—112.
13. Борзаков, А.Ю. Применение методов конечномерной редукции к глобальному анализу краевых задач на примере уравнения Дуффинга / А.Ю. Борзаков // Сборник трудов математического факультета ВГУ. — 2005. — Вып. 9. — С. 9—22.
14. Костин, Д.В. Об одной схеме анализа двухмодовых прогибов слабо неоднородной упругой балки / Д.В. Костин // Доклады Академии наук. — 2008. — Т. 418, № 4. — С. 295—299.
15. Костина, Т.И. Нелокальное вычисление ключевых функций в задаче о периодических решениях вариационных уравнений / Т.И. Костина // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. — 2011. — № 1. — С. 181—186.
Источник
Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2014. - Том 7, №2. – C. 74-86.